→オイラー法
(→オイラー法) |
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<math>\begin{array}{l l l} x(t_k + \Delta t) &=& x(t_k) + \frac{dx}{dt}\bigg|_{t=t_k} \, \Delta t + \frac{1}{2} \frac{d^2x}{dt^2}\bigg|_{t=t_k} \, \Delta t ^2 + \cdots \\ &\approx& x(t_k) + \frac{dx}{dt}\bigg|_{t=t_k} \, \Delta t \\ &\approx& x(t_k) + f(x(t_k), t_k) \, \Delta t \end{array}</math> | <math>\begin{array}{l l l} x(t_k + \Delta t) &=& x(t_k) + \frac{dx}{dt}\bigg|_{t=t_k} \, \Delta t + \frac{1}{2} \frac{d^2x}{dt^2}\bigg|_{t=t_k} \, \Delta t ^2 + \cdots \\ &\approx& x(t_k) + \frac{dx}{dt}\bigg|_{t=t_k} \, \Delta t \\ &\approx& x(t_k) + f(x(t_k), t_k) \, \Delta t \end{array}</math> | ||
ここで，表記上の簡便性から，<math>x(t_k)</math>を<math>x_k</math>と表記することにし，<math>t_k + \Delta t</math>を<math>t_{k+1}</math>, <math>x(t_k + \Delta t)</math>を | ここで，表記上の簡便性から，<math>x(t_k)</math>を<math>x_k</math>と表記することにし，<math>t_k + \Delta t</math>を<math>t_{k+1}</math>, <math>x(t_k + \Delta t)</math>を<math>x_{k+1}</math>などと表記することにします．この時オイラー法は以下のように表すことができます． | ||
<math>x_{k+1} = x_k + f(x_k, t_k) \, \Delta t</math> | <math>x_{k+1} = x_k + f(x_k, t_k) \, \Delta t</math> | ||